高级方法
双几何法
所有抗 pool-hopping 的方法都需要维护一个平稳状态，这时每个矿工都能看到相同的相关历史，而不管他何时提交 share。
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几何法通过使用一个可变费用来做到这一点，它有轮的概念。经营者吸收风险时，吸收得越多（c 越大），那么基于 share 的方差（提交 share 断断续续引起的）就越小，基于 pool 的方差（矿池算力太小引起的）也会减小。基于 share 的方差和基于 pool 的方差都是对于矿工而言的。
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PPLNS 通过完全抛弃轮的概念做到这一点，share 得到的奖励和它到出块 share 之间的 share 完全独立。增大 X，会降低基于 share 的方差，但基于 pool 的方差不变，经营者的风险也不变，只是成熟时间变长了。但是这种方法不能减小基于 pool 的方差。
双几何法介于几何法和 PPLNS 之间。在双几何法中，轮可以跨过，而不是像几何法那样找到块后完全开始新的一轮，可以调控平均手续费、基于 pool 的方差、基于 share 的方差、经营者的方差和成熟时间。
算法步骤：
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设定 f 为固定费用（可以为负数），c 是平均可变手续费，平均总手续费每个块为 \(\lparen c+f-cf \rparen B\)。增大 c 会减小矿工方差，增大经营者方差
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矿池初始时，令 \(s=1\)，对每个矿工有一个分数 \(s_k = 0\)
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令 \(r = 1 + \dfrac{p \lparen 1-c \rparen \lparen 1-\theta \rparen}{c}\)，\(\theta\) 为跨轮系数，\(\theta\) 增大会减少矿工基于 share 的方差，增大成熟时间。\(\theta = 0\) 即为几何法，\(\theta = 1\) 时即为 PPLNS 的一个变种（就是 share 有没有奖励是按指数函数衰减而不是阶跃函数），此时 c 必须为 0，r 也不按这个公式算，可自由选择
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提交 share 时，令 \(s_k += \lparen 1-f \rparen \lparen 1-c \rparen spB\)，\(s *= r\)
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share 是块时，支付给矿工 \(\dfrac{\lparen 1-\theta \rparen s_k}{cs}\)，再令 \(s_k *= \theta\)
上面步骤中的参数在任何时间点都可以修改，而不会影响已有 share 的收益期望。
找到块时，在 PPLNS 中会不修改分数而继续，在几何法中会把分数清算支付再清零，而在双几何法介于两者之间，保留一部分分数，剩余部分清算支付。
双几何法同样有对数版本：
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初始化令 \(s = 0\)，每个矿工的分数是 \(s_k = -\infin\)
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令 \( r = 1 + \dfrac{p \lparen 1-c \rparen \lparen 1-\theta \rparen}{c}\)，\(r_l = \ln{r}\)
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提交 share 时，\(s_k = s + \ln \lbrace \exp \lbrace s_k - s \rbrace + \lparen 1-f \rparen \lparen 1-c \rparen p B \rbrace \)，\(s += r_l\)
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出块时，支付 \(\dfrac{\lparen 1-\theta \rparen \exp \lbrace s_k - s \rbrace }{c}\)，再令 \(s_k += \ln{\theta}\)
双几何法中，每个矿工的延迟收益的期望为 \(\dfrac{s_k}{s}\)，对数版本为 \(\exp \lbrace s_k - s \rbrace\)。
PPLNS 的各种变体
下面再大致介绍几种 PPLNS 的变体方法。
一种变体是换另一种衰减函数，由原来的阶跃函数（只有出块前的 N 个 share 有奖励，再往前的就没有奖励，这是阶跃函数）换成指数衰减函数、线性衰减函数等。
pay once PPLNS，就是每个 share 最多支付一次，支付过的 share 被去掉（部分支付过则只保留未支付的比例），让更早的 share 有机会得到奖励。若 share 都支付完则剩余的奖励先暂存，有了 share 之后再继续拿出来分。这种 PPLNS 的 X 必须小于 1.
shift PPLNS，它和标准的 PPLNS 很相似，只是实现上是流式的，它不需要保存 share。
General unit-based framework：最复杂的方法，它是这篇论文里面介绍的最一般的方法，PPLNS、几何法都是它的特例。
攻击向量
pool-hopping 攻击，这个在之前的各种方法里面已经介绍过。
block withholding：
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sabotage，也就是常说的扣块攻击，矿工不提交出块的那个 share。在 PPLNS 中，攻击者自己也有损失，他的每个 share 的期望收益变为 \(\lparen 1-f \rparen \lparen 1-\dfrac{h}{H} \rparen pB \)。在 PPS 中，损失全部由矿池经营者承担，矿池每个 share 的收益期望变为 \(\lparen f - \dfrac{h}{H} \rparen pB \)，这甚至能是负数。
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lie in wait，攻击者在多个 PPLNS 矿池中都进行挖矿，一旦在某个时间点找到了出块 share，其它算力就会切到这个矿池挖一段时间 T，再提交之前的块。在这期间，其他人可能会出块，那就把算力恢复成原样，再找机会。
解决扣块攻击的方法是修改共识协议，让矿工算出 share 时不知道它是否能够出块，只能提交给矿池再做验证。